%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.10. French}

\textbf{Proposition 1.10}
Sous les hypothèses de 1.9, soient $X$ une base de $\Omega'$, $t$ une uniformisante, $\tau = tX$ et $v$ un vecteur cyclique (1.2) de $V$. Posons

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\[
\left\{
\begin{aligned}
\nabla_X^n v &= \sum_{i < n} a_i \nabla_\tau^i v \\
\nabla_\tau^n v &= \sum_{i < n} b_i \nabla_\tau^i v
\end{aligned}
\right.
\]

Alors, la majoration (1.9.2) est vraie pour
\[
r = \sup(0, \sup(-v(b_i)/n - i)) = \sup(0, \sup(-v(a_i)/n - i) - 1).
\]

La même conclusion vaut pour $v$ vecteur cyclique de $V'$.

Cette proposition fournit un procédé de calcul de $r$ pour $V$ fibré vectoriel à connexion défini par une équation différentielle du $n^{\text{ième}}$ ordre (cf. I 4.8).

On a les identités
\begin{align*}
(t\nabla_X)^n - \sum b_i (t\nabla_X)^i &= t^n(\nabla_X^n - \sum a_i \nabla_X^i) \\
(t^{-1}\nabla_\tau)^n - \sum a_i (t^{-1}\nabla_\tau)^i &= t^{-n}(\nabla_\tau^n - \sum b_i \nabla_\tau^i).
\end{align*}

De ces identités, on tire que
\begin{align*}
a_i &= g_{n,i} + \sum_{j \leq i} g_{j,i} b_j, \quad v(g_{j,i}) \geq i - n \\
b_i &= h_{n,j} + \sum_{j \leq i} h_{i,j} a_j, \quad v(h_{i,j}) \geq n - j
\end{align*}
et pour $i \geq 0$,
\[
\sup_{j \leq i}(0, \sup(-v(b_j))) = \sup_{j \leq i}(0, \sup(-v(a_j) - (n - j))).
\]

Les deux expressions données pour $r$ coïncident donc.

Si $v \in V$ est un vecteur cyclique, la matrice de la connexion, dans les bases $(\nabla_\tau^i v)_{0 \leq i \leq n}$ de $V$ et $\tau$ de $\Omega'$, est

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\[
\Gamma = 
\begin{pmatrix}
0 & & & & b_0 \\
1 & 0 & & & b_1 \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & 1 & 0 & b_{n-2} \\
& & & 1 & b_{n-1}
\end{pmatrix}.
\]

Si $v \in V'$ est un vecteur cyclique, la matrice de la connexion dans la base de $V$ de cobase $(\nabla_\tau^i v)_{0 \leq i < n}$ et la base $\tau$ de $\Omega' \otimes K$ est

\[
\Gamma = -
\begin{pmatrix}
0 & 1 & & & \\
& 0 & \ddots & & \\
& & \ddots & 1 & \\
& & & 0 & 1 \\
b_0 & b_1 & \cdots & b_{n-2} & b_{n-1}
\end{pmatrix}.
\]

Il reste à appliquer 1.9.6. Pour $v \in V$, on prend $r_i = -ri$ et $s = r$. Pour $v \in V'$, on prend $r_i = ri$ et $s = r$. Dans le premier (resp second cas), si $s = r > 0$, la matrice $\gamma$ est du type

\[
\gamma =
\begin{pmatrix}
0 & & & & * \\
1 & 0 & & & * \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & 1 & 0 & * \\
& & & 1 & *
\end{pmatrix},
\]
un des coefficients de la dernière colonne étant non nul si $s > 0$ (resp $\gamma$ est du type transposé). Ces coefficients sont ceux du polynôme caractéristique de $\gamma$, qui n'est donc pas nilpotent pour $s > 0$.

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\subsection*{1.10. English}

\textbf{Proposition 1.10}
Under the hypotheses of 1.9, let $X$ be a basis of $\Omega'$, $t$ a uniformizer, $\tau = tX$, and $v$ a cyclic vector (1.2) of $V$. Set

%\page{- 49 -}

\[
\left\{
\begin{aligned}
\nabla_X^n v &= \sum_{i < n} a_i \nabla_\tau^i v \\
\nabla_\tau^n v &= \sum_{i < n} b_i \nabla_\tau^i v
\end{aligned}
\right.
\]

Then estimate (1.9.2) holds with
\[
r = \sup\Bigl(0,\; \sup_i\bigl(-v(b_i)/n - i\bigr)\Bigr) = \sup\Bigl(0,\; \sup_i\bigl(-v(a_i)/n - i\bigr) - 1\Bigr).
\]

The same conclusion holds when $v$ is a cyclic vector in $V'$.

This proposition provides a method for computing $r$ when $V$ is a vector bundle with connection defined by a linear differential equation of order $n$ (cf. I 4.8).

We have the identities
\begin{align}
(t\nabla_X)^n - \sum b_i (t\nabla_X)^i &= t^n\Bigl(\nabla_X^n - \sum a_i \nabla_X^i\Bigr), \\
(t^{-1}\nabla_\tau)^n - \sum a_i (t^{-1}\nabla_\tau)^i &= t^{-n}\Bigl(\nabla_\tau^n - \sum b_i \nabla_\tau^i\Bigr).
\end{align}

From these identities we deduce that
\begin{align}
a_i &= g_{n,i} + \sum_{j \leq i} g_{j,i} b_j, \quad v(g_{j,i}) \geq i - n, \\
b_i &= h_{n,i} + \sum_{j \leq i} h_{i,j} a_j, \quad v(h_{i,j}) \geq n - j,
\end{align}
and for $i \geq 0$,
\[
\sup_{j \leq i}\bigl(0,\; -v(b_j)\bigr) = \sup_{j \leq i}\bigl(0,\; -v(a_j) - (n - j)\bigr).
\]

Hence the two expressions given for $r$ coincide.

If $v \in V$ is a cyclic vector, then the connection matrix in the basis $(\nabla_\tau^i v)_{0 \leq i < n}$ of $V$ and the basis $\tau$ of $\Omega'$ is

%\page{- 50 -}

\[
\Gamma =
\begin{pmatrix}
0 & & & & b_0 \\
1 & 0 & & & b_1 \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & 1 & 0 & b_{n-2} \\
& & & 1 & b_{n-1}
\end{pmatrix}.
\]

If $v \in V'$ is a cyclic vector, then the connection matrix in the dual basis $(\nabla_\tau^i v)_{0 \leq i < n}$ of $V$ and the basis $\tau$ of $\Omega' \otimes K$ is

\[
\Gamma = -
\begin{pmatrix}
0 & 1 & & & \\
& 0 & \ddots & & \\
& & \ddots & 1 & \\
& & & 0 & 1 \\
b_0 & b_1 & \cdots & b_{n-2} & b_{n-1}
\end{pmatrix}.
\]

It remains to apply Lemma 1.9.6. For $v \in V$, we take $r_i = -r i$ and $s = r$. For $v \in V'$, we take $r_i = r i$ and $s = r$. In the first (resp. second) case, if $s = r > 0$, the matrix $\gamma$ is of the form

\[
\gamma =
\begin{pmatrix}
0 & & & & \\
1 & 0 & & & \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & 1 & 0 & \\
& & & 1 & *
\end{pmatrix},
\]
with at least one non-zero entry in the last column when $s > 0$ (resp. $\gamma$ is of the transposed type). These entries are precisely the coefficients of the characteristic polynomial of $\gamma$, which is therefore not nilpotent when $s > 0$.

